При решении этих задач очень полезно использовать метод якобианов, заключающийся в том, что частные производные, требующие преобразования, переводят в якобиан по очевидному соотношению:
10. (1/Э-06).* Известно термическое уравнение состояния газа Ван-дер-Ваальса:
(P+aV2)(V−b)=RT.
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadcfacqGHRaWkdaWcaaqaaiaadggaaeaacaWGwbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiaacMcacaGGOaGaamOvaiabgkHiTiaadkgacaGGPaGaeyypa0JaamOuaiaadsfacaGGUaaaaa@4331@ Выведите калорическое уравнение состояния газа Ван-дер-Ваальса U = U(T,V).
Решение. В дифференциальной форме калорическое уравнение состояния записывается как
dU=(∂U∂V)TdV+(∂U∂T)vdT
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamizaiaadwfacqGH9aqpdaqadaqaamaalaaabaGaeyOaIyRaamyvaaqaaiabgkGi2kaadAfaaaaacaGLOaGaayzkaaWaaSbaaSqaaiaadsfaaeqaaOGaamizaiaadAfacqGHRaWkdaqadaqaamaalaaabaGaeyOaIyRaamyvaaqaaiabgkGi2kaadsfaaaaacaGLOaGaayzkaaWaaSbaaSqaaiaadAhaaeqaaOGaamizaiaadsfaaaa@4B90@.
Из Второго начала
dU=TdS−PdV
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamizaiaadwfacqGH9aqpcaWGubGaamizaiaadofacqGHsislcaWGqbGaamizaiaadAfaaaa@3ED6@следует, что
(∂U∂V)T=T(∂S∂V)T−P
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiabgkGi2kaadwfaaeaacqGHciITcaWGwbaaaaGaayjkaiaawMcaamaaBaaaleaacaWGubaabeaakiabg2da9iaadsfadaqadaqaamaalaaabaGaeyOaIyRaam4uaaqaaiabgkGi2kaadAfaaaaacaGLOaGaayzkaaWaaSbaaSqaaiaadsfaaeqaaOGaeyOeI0Iaamiuaaaa@47DE@ и
(∂U∂T)V=T(∂S∂T)V=cV
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiabgkGi2kaadwfaaeaacqGHciITcaWGubaaaaGaayjkaiaawMcaamaaBaaaleaacaWGwbaabeaakiabg2da9iaadsfadaqadaqaamaalaaabaGaeyOaIyRaam4uaaqaaiabgkGi2kaadsfaaaaacaGLOaGaayzkaaWaaSbaaSqaaiaadAfaaeqaaOGaeyypa0Jaam4yamaaBaaaleaacaWGwbaabeaaaaa@4911@
Таким образом, dU=(T(∂P∂T)V−P)dV+cVdT
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamizaiaadwfacqGH9aqpdaqadaqaaiaadsfadaqadaqaamaalaaabaGaeyOaIyRaamiuaaqaaiabgkGi2kaadsfaaaaacaGLOaGaayzkaaWaaSbaaSqaaiaadAfaaeqaaOGaeyOeI0IaamiuaaGaayjkaiaawMcaaiaadsgacaWGwbGaey4kaSIaam4yamaaBaaaleaacaWGwbaabeaakiaadsgacaWGubaaaa@4A5F@ (для любого газа).
Для идеального газа множитель при dV равен нулю.Для газа Ван-дер-Ваальса
(∂P∂T)V=(∂(RT(V−b)−aV2)∂T)V=R(V−b)=P+aV2T
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@5C27@
и, следовательно,
dU=aV2dV+cVdT
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamizaiaadwfacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadggaaeaacaWGwbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaakiaadsgacaWGwbGaey4kaSIaam4yamaaBaaaleaacaWGwbaabeaakiaadsgacaWGubaaaa@41DB@.
Требуемое калорическое уравнение получаем интегрированием dU.
16. (1/Э-05).* Углекислый газ подчиняется уравнению состояния Ван-дер-Ваальса с
параметрами a = 0,364 Дж.м3.моль–2 и b = 4,
27.10–5 м3/моль. Оцените изменение внутренней энергии в процессе
сжатия одного моля CO2 с объема V1 = 10 л до V2 = 1 л,
проводимом при 298 К:
Решение:В дифференциальной форме калорическое уравнение состояния записывается как (см. решение выше)
ΔU=∫V2V2(∂U∂V)TdV=∫V1V2(T(∂P∂T)V−P)dV
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@5C33@.
17. (2/1-06).* Доказать соотношение
(∂T∂V)U=p−(∂p∂T)VTCV
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiabgkGi2kaadsfaaeaacqGHciITcaWGwbaaaaGaayjkaiaawMcaamaaBaaaleaacaWGvbaabeaakiabg2da9maalaaabaGaamiCaiabgkHiTmaabmaabaWaaSaaaeaacqGHciITcaWGWbaabaGaeyOaIyRaamivaaaaaiaawIcacaGLPaaadaWgaaWcbaGaamOvaaqabaGccaWGubaabaGaam4qamaaBaaaleaacaWGwbaabeaaaaaaaa@49FA@.
Как будет изменяться при адиабатическом расширении в вакуум температура неидеального газа c
фактором сжимаемости
PVRT≡Z(V,T)
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacaWGqbGaamOvaaqaaiaadkfacaWGubaaaiabggMi6kaadQfacaGGOaGaamOvaiaacYcacaWGubGaaiykaaaa@3FC2@?
Решение. Сначала обсудим, что означает "адиабатическое расширение в вакуум".
Расширение в вакуум – это необратимый (и, следовательно, неравновесный) процесс. Поэтому условие
адиабатичности ни в коем случае не означает S = const, хотя для равновесного процесса это было бы
верно. Поскольку при расширении в вакуум газ не совершает работы, то в соответствии с
Первым началом адиабатичность означает постоянство внутренней энергии: U = const. Таким образом,
соотношение, которое требуется доказать, и даст ответ на вопрос задачи (на самом деле, в текст
задачи просто введена подсказка).
Теперь применим к P=Z(T,V)RTV
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiuaiabg2da9maalaaabaGaamOwaiaacIcacaWGubGaaiilaiaadAfacaGGPaGaamOuaiaadsfaaeaacaWGwbaaaaaa@3EFF@
24. (2/1-04).* Показать, что
cp−cV=−T∂2G∂T∂P∂2A∂T∂V
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaBaaaleaacaWGWbaabeaakiabgkHiTiaadogadaWgaaWcbaGaamOvaaqabaGccqGH9aqpcqGHsislcaWGubWaaSaaaeaacqGHciITdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWGhbaabaGaeyOaIyRaamivaiabgkGi2kaadcfaaaWaaSaaaeaacqGHciITdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWGbbaabaGaeyOaIyRaamivaiabgkGi2kaadAfaaaaaaa@4D10@
Решение.Cначала упростим выражение: ∂2G∂T∂P=(∂V∂T)P,
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacqGHciITdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWGhbaabaGaeyOaIyRaamivaiabgkGi2kaadcfaaaGaeyypa0ZaaeWaaeaadaWcaaqaaiabgkGi2kaadAfaaeaacqGHciITcaWGubaaaaGaayjkaiaawMcaamaaBaaaleaacaWGqbaabeaakiaacYcaaaa@4676@ а
∂2A∂T∂V=−(∂P∂T)V
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacqGHciITdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaWGbbaabaGaeyOaIyRaamivaiabgkGi2kaadAfaaaGaeyypa0JaeyOeI0YaaeWaaeaadaWcaaqaaiabgkGi2kaadcfaaeaacqGHciITcaWGubaaaaGaayjkaiaawMcaamaaBaaaleaacaWGwbaabeaaaaa@46A9@. Требуется показать, что
cp−cV=T(∂V∂T)P(∂P∂T)V
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaBaaaleaacaWGWbaabeaakiabgkHiTiaadogadaWgaaWcbaGaamOvaaqabaGccqGH9aqpcaWGubWaaeWaaeaadaWcaaqaaiabgkGi2kaadAfaaeaacqGHciITcaWGubaaaaGaayjkaiaawMcaamaaBaaaleaacaWGqbaabeaakmaabmaabaWaaSaaaeaacqGHciITcaWGqbaabaGaeyOaIyRaamivaaaaaiaawIcacaGLPaaadaWgaaWcbaGaamOvaaqabaaaaa@4B03@(это – задача 20).
Подставляем: cp=cV−T(∂V∂P)T(∂P∂T)V2
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yamaaBaaaleaacaWGWbaabeaakiabg2da9iaadogadaWgaaWcbaGaamOvaaqabaGccqGHsislcaWGubWaaeWaaeaadaWcaaqaaiabgkGi2kaadAfaaeaacqGHciITcaWGqbaaaaGaayjkaiaawMcaamaaBaaaleaacaWGubaabeaakmaabmaabaWaaSaaaeaacqGHciITcaWGqbaabaGaeyOaIyRaamivaaaaaiaawIcacaGLPaaadaqhaaWcbaGaamOvaaqaaiaaikdaaaaaaa@4BC0@ (это – задача 21).
Преобразуем: (∂V∂P)T(∂P∂T)V=−(∂V∂T)P
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiabgkGi2kaadAfaaeaacqGHciITcaWGqbaaaaGaayjkaiaawMcaamaaBaaaleaacaWGubaabeaakmaabmaabaWaaSaaaeaacqGHciITcaWGqbaabaGaeyOaIyRaamivaaaaaiaawIcacaGLPaaadaqhaaWcbaGaamOvaaqaaaaakiabg2da9iabgkHiTmaabmaabaWaaSaaaeaacqGHciITcaWGwbaabaGaeyOaIyRaamivaaaaaiaawIcacaGLPaaadaWgaaWcbaGaamiuaaqabaaaaa@4D43@ и получаем требуемое тождество.
27. (1/1-06).* Обратимые процессы, в ходе которых теплоемкость системы C остаётся
постоянной, называют политропными. Найдите зависимость Р(V,T) для политропного процесса
(уравнение политропы) для идеального газа. Какие политропные процессы вам известны?
Решение.Из Первого начала
δQ=CdT=dU+PdV
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiTdqMaamyuaiabg2da9iaadoeacaWGKbGaamivaiabg2da9iaadsgacaWGvbGaey4kaSIaamiuaiaadsgacaWGwbaaaa@423C@. По условию газ идеальный:
dU=CVdT
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamizaiaadwfacqGH9aqpcaWGdbWaaSbaaSqaaiaadAfaaeqaaOGaamizaiaadsfaaaa@3C51@.
Тогда (C−CV)dT=PdV
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaadoeacqGHsislcaWGdbWaaSbaaSqaaiaadAfaaeqaaOGaaiykaiaadsgacaWGubGaeyypa0JaamiuaiaadsgacaWGwbaaaa@4035@.
Из термического уравнения состояния идеального газа следует, что
dT=PdV+VdPR
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamizaiaadsfacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadcfacaWGKbGaamOvaiabgUcaRiaadAfacaWGKbGaamiuaaqaaiaadkfaaaaaaa@3FB0@. Тогда, заменив dT, получим
VdP=−CP−CCV−C⋅PdV.
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOvaiaadsgacaWGqbGaeyypa0JaeyOeI0YaaSaaaeaacaWGdbWaaSbaaSqaaiaadcfaaeqaaOGaeyOeI0Iaam4qaaqaaiaadoeadaWgaaWcbaGaamOvaaqabaGccqGHsislcaWGdbaaaiabgwSixlaadcfacaWGKbGaamOvaiaac6caaaa@4734@
Интегрируем и получаем уравнение состояния PVn = const, где
n=CP−CCV−C
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaiabg2da9maalaaabaGaam4qamaaBaaaleaacaWGqbaabeaakiabgkHiTiaadoeaaeaacaWGdbWaaSbaaSqaaiaadAfaaeqaaOGaeyOeI0Iaam4qaaaaaaa@3F0C@.
Хорошо известные всем политропы: изобара (n = 0, C=CP); изохора (n = ∞,
C=CV); адиабата (n = γ = CP/CV, C=0).
PV= const (изотерма) – это тоже политропный процесс, но теплоемкость в этом случае не имеет
смысла (С → ∞).
32. (1/Э-04).* Распространение звука в идеальном газе можно рассматривать как адиабатический процесс. Из гидродинамики известно, что скорость звука с = {(∂P/∂ρ)адиаб}0,5, где P – давление, а ρ – плотность газа.Найти скорость звука в гелии при комнатной температуре, если теплоемкость одноатомного идеального газа
Сv = 3/2 R, атомный вес МНе = 4.
37. (2/1-98).* Вычислить изменение потенциала Гиббса в процессе затвердевания 1 кг переохлажденного бензола при 268,2 К. Давление насыщенного пара твердого бензола при 268,2 К 2279,8 Па, а над жидким бензолом при этой же температуре – 2639,7 Па. Вывести формулы для расчета. Пары бензола считать идеальным газом.
Решение. Задача может быть решена через химические потенциалы, однако в этом разделе предполагается, что студент не знаком еще с этим понятием.
Изменением потенциала Гиббса в процессе Ж → Т может быть представлено как сумма
ΔG в последовательных процессах: 1) испарения до достижения равновесия
(P1 = Pн.п.ж = 2639,7 Па); 2) изотермическое расширение пара
до P3 = Рн.п.т = 2279,8 Па; 3) равновесная кристаллизация
насыщенного пара в твердую фазу.
Δ1G
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuiLdq0aaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaam4raaaa@3910@ и Δ3G
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuiLdq0aaSbaaSqaaiaaiodaaeqaaOGaam4raaaa@3912@ = 0, так как фазовые переходы осуществляются при Р и Т, соответствующих равновесному
сосуществованию фаз.
Δ2G=∫P1P3(∂G∂P)T=∫P1P3VdP
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuiLdq0aaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaam4raiabg2da9maapehabaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiabgkGi2kaadEeaaeaacqGHciITcaWGqbaaaaGaayjkaiaawMcaamaaBaaaleaacaWGubaabeaaaeaacaWGqbWaaSbaaWqaaiaaigdaaeqaaaWcbaGaamiuamaaBaaameaacaaIZaaabeaaa0Gaey4kIipakiabg2da9maapehabaGaamOvaiaadsgacaWGqbaaleaacaWGqbWaaSbaaWqaaiaaigdaaeqaaaWcbaGaamiuamaaBaaameaacaaIZaaabeaaa0Gaey4kIipaaaa@50A0@. Для идеального газа PV = RT и
Δ2G=RTlnP3P1=8,314⋅268,2⋅ln2279,82639,7
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuiLdq0aaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaam4raiabg2da9iaadkfacaWGubGaciiBaiaac6gadaWcaaqaaiaadcfadaWgaaWcbaGaaG4maaqabaaakeaacaWGqbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaaaakiabg2da9iaaiIdacaGGSaGaaG4maiaaigdacaaI0aGaeyyXICTaaGOmaiaaiAdacaaI4aGaaiilaiaaikdacqGHflY1ciGGSbGaaiOBamaalaaabaGaaGOmaiaaikdacaaI3aGaaGyoaiaacYcacaaI4aaabaGaaGOmaiaaiAdacaaIZaGaaGyoaiaacYcacaaI3aaaaaaa@5904@ Дж/моль = – 326,84 Дж/моль
1 кг бензола – это 12,82 моль и
Δ2G=
MathType@MTEF@5@5@+=feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuiLdq0aaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaam4raiabg2da9aaa@3A17@4,19 кДж.
45. (3/1-06).* Оценить величину энергии связи в молекуле О2,
если известно, что изобарный тепловой эффект каталитической реакции окисления орто-ксилола
до фталевой кислоты, записываемой уравнением
о-С8Н10(ж.) + 6О(г.) = С8Н6О4(кр.) + 2Н2О(ж.),
равен –2824,49 кДж/моль. Теплота сгорания фталевой кислоты равна 3223,33 кДж/моль.